Тарау II. ҚОЗҒАЛЫС ЖӘНЕ АҒЫНДЫ МОДЕЛЬДЕУ

1. Қозғалыс және ағын түсініктері

1.1 Қозғалыс. Ағын. Материальдық туынды

1.2 Жылдамдық. Үдеу. Жылдамдықтың лездік өрісі. Траектория. Тоқ сызығы. Орныққан қозғалыс

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

1.1 Қозғалыс. Ағын. Материальдық туынды

Қозғалыс дегеніміз – тұтас орта конфигурациясының лездік немесе үзіліссіз өзгеруі.

Ағын дегеніміз– үзіліссіз қозғалыс немесе қалдық деформацияға әкелетін қозғалыс.

Тұтас ортаның бірқатар көлемін материальдық координата арқылы өрнектеуге болады (Лагранж тәсілі):

       немесе        (2.1)

немесе бұл теңдеулерді кеңістіктік координаталар бойынша шешсек (Эйлер тәсілі):

   немесе   .   (2.2)

Егер келесі якобиан бар болса, онда (2.2) кері функциясы бар болады:

.                                           (2.3)

Физикалық көзқарас бойынша Лагранж тәсілімен өрнектеу континуумның жекелеген бөлікшелеріне назар аудартады, ал Эйлер тәсілі тұтас ортадан бос емес кеңістіктің белгілі бір облысындағы өзгерістерді сипаттауға назар аудартады.

(2.1) және (2.2) өзара кері болғандықтан, континуумның жекелеген бөлікшесінің физикалық қасиеттері, бұл бөлікшенің кеңістіктегі алатын орны арқылы өрнектелуі мүмкін. Мысалы, егер материалдық айнымалыда   тығыздық келесі түрде берілсе:

                     немесе     ,             (2.4)

онда оның кеңістіктік сипатталуы  (2.2) алмастыруы арқылы алынады. Яғни

        немесе   ,           (2.5)

мұндағы * белгішесі -ның екі айнымалыда әртүрлі болуы мүмкін екенің білдіреді.

Қозғалыстағы ортаның жекелеген бөлікшелерінің қасиетінің уақыт бойынша өзгеру жылдамдығы материалдық (жекелеген, субстанциональды, толық) туынды деп аталады. Бөлікшенің тұрған орнынан уақыт бойынша алынған материальдық туынды оның лездік жылдамдығы болады:

                     немесе     .                  (2.6)

Егер континуумның тензорлық қасиеті Лагранждық сипатталуымен келесі түрде берілсе:

                                        ,                            (2.7)

онда бұл шаманың уақыт бойынша туындысы келесі түрде болады:

                .                      (2.8)

Егер континуумның тензорлық қасиеті кеңістіктік координатада келесі түрде берілсе:

                            ,                                      (2.9)

онда оның материалдық туындысы келесі түрде болады:

                ,                  (2.10)

Соңғы формуланың оң жағының екінші қосылғышы жекелеген бөлікшелердің кеңістікте орнын ауыстыратындығынан шығады.

(2.10) формуладағы бірінші қосылғыш кеңістіктің бекітілген нүктесінде, берілген қасиетінің өзгеру жылдамдығын сипаттайды және сәйкесінше өзгерудің локальды (жергілікті) жылдамдығы деп аталады. Жоғардағыдай дифференциалдау кезінде  тұрақты болатындығын білдіріп, кейде бұл қосылғышты келесі түрде жазады:

                                        .

(2.10) формуланың екінші мүшесін өзгерудің конвективтік жылдамдығы деп атайды. Себебі ол бөлікшенің берілген қасиетінің айнымалы өрістегі шартты қозғалысын сипаттайды. (2.6) формуланы ескере отырып, жекелеген туынды үшін келесі өрнекті жазуға болады:

                .                      (2.11)

Бұл теңдікті

           немесе                      (2.12)

уақыт бойынша материалдық дифференциалдау операторының көмегімен келесі түрде жазуға болады:

                            .